Licence 3 mathématiques

Semestre 1  

1) Algèbre (4 h / sem)

Théorie des groupes 
1.    Définitions (sous-groupe, sous-groupe distingué, quotient, factorisation d'un morphisme...) Ordre d'un groupe fini. Théorème de Lagrange. Exemples des groupes cycliques.
2.    Opération d'un groupe sur un ensemble : orbites, stabilisateurs. Exemples d'opérations usuelles. Classes de conjugaison dans un groupe, classes de conjugaison de sous-groupes... Applications : p-groupes, théorèmes de Sylow,...
3.    Parties génératrices de groupes .
4.    Décomposition d'un groupe : produits directs et semi-directs.
5.    Groupes classiques (linéaire, orthogonal...)
6.    Exemples de groupes simples.

Théorie des anneaux
1.    Définitions (anneaux, idéaux, quotients, factorisation d' un morphisme)
2.    Anneaux principaux, anneaux euclidiens.
3.    k[X]. Polynômes irréductibles

Théorie des corps 
1.    Corps de fractions d'un anneau intègre. Q. K(X).
2.    Caractéristique d'un corps. Sous-corps premier. Homomorphisme de Frobénius en caractéristique p.
3.    Corps finis.

2) Analyse de Fourier et Hilbertienne (5 h / sem)

L'intégrale de Lebesgue (traitement axiomatique)
Espaces Lp
Espaces de Hilbert: algèbre et géométrie
Espaces de Hilbert: analyse
Séries de Fourier (exemples concrets de bases Hilbertiennes)
Autres bases Hilbertiennes
Transformée de Fourier discrète
Transformée de Fourier
Interlude: Vue d'ensemble des applications de l'analyse de Fourier
o    Applications dans autres branches des mathématiques:
o    Applications au traitement d'image:
Distributions
Espaces de Sobolev périodiques en dimension 1
Espaces de Sobolev périodiques en dimension 2
EDP linéaires dans les espaces de Sobolev périodiques
Interprétation variationnelle de ces EDP

3) Analyse numérique des EDO (4 h / sem) 

Objectifs : lorsque les systèmes d'équations différentielles ordinaires n'interviennent pas directement dans la modélisation des phénomènes physiques, chimiques, biologiques ou bien encore dans les modèles financiers, ces systèmes apparaissent après des semi-discrétisation en espace d'EDP, il s'agit alors de systèmes pouvant aller jusqu'à plusieurs centaines de millions d'inconnues. Les questions qui se posent naturellement portent sur l'existence, l'unicité et la durée de vie des solutions mais encore le comportement pour des temps grands... Les systèmes disposant de solutions s'exprimant facilement de façon explicite sont plutôt rares en particulier pour les grands systèmes, l'étude qualitative et/ou numérique s'avère un outil mathématique essentiel. Les questions qu'il convient alors de se poser portent sur la qualité et la précision des solutions numériques, sur la conservation des propriétés physiques, sur le comportement des solutions transitoires ou à long terme.
Ce cours regarde ces questions et s'intéresse également aux méthodes de quadrature, d'interpolation et de résolution des problèmes non linéaires forts utiles pour la construction de schémas. L'étude d'EDO avec retard, avec des termes intégro-différentiel, ou bien avec des conditions aux limites pourra être succinctement abordée.

Plan du cours

1. Théorème d'existence et unicité de solutions
2. Systèmes différentiels linéaires et non linéaires. Analyse qualitative. Etude des points critiques. Théorème de stabilité de Lyapunov.
3. Méthodes numériques pour la résolution des EDO.
4. Applications aux problèmes aux limites.
5. Représentation des nombre réels et étude des erreurs d'arrondi
6. Interpolation et intégration approchée
7. Résolution d'équations non linéaires

Organisation  
Les notions de cours sont illustrées par des TP hebdomadaires en python. La validation des acquis est composée d'un examen en 2 parties (théorique et numérique) et d'une note de contrôle continu (devoirs et études de textes).

4) Intégration et probabilités (5 h / sem)

Théorie de la mesure

1. Tribus, mesures, théorème de Dynkin. Intégration abstraite : intégration des fonctions mesurables positives, théorème de convergence monotone et de Fatou ; fonctions intégrables, convergence dominée, de dérivation sous le signe somme.
2. Construction de mesures : théorème d'extension de Carathéodory. Cas de la mesure de Lebesgue sur R^d. Formule de changement de variables. Intégrale de Stieljes, mesures de Radon, théorème de représentation de Riesz.
3. Mesures produits, théorèmes de Fubini-Tonelli et Fubini-Lebesgue. Intégration par parties.
4. Espaces Lp, inégalité de Jensen, Hölder et Minkowski, théorèmes de densité (pas de preuves ici, la théorie générale n'est pas faite dans ce cours). Dérivée de Radon Nykodyn.

Introduction aux probabilités

1. Introduction historique. Langage probabiliste et modélisation.
2. Variables aléatoires, espérance mathématiques. Loi d'une variable aléatoire et lois classiques. Théorème de représentation de Skorokhod. Notion de tribu engendrée par une variable aléatoire. Moments, fonctions caractéristiques. Fonctions génératrices.
3. Indépendance: définitions et caractérisations. Théorème des coalitions. Tribu asymptotique, loi du tout ou rien, lemmes de Borel-Cantelli. Loi fortes des grands nombres. Applications.
4. Convergence en loi : définitions et caractérisations, théorème de Levy. Comparaison des différents modes de convergences. Théorème central limite. Applications. 
5. Topologie et Calcul différentiel (4h30 / sem)

Topologie générale

1. Théorème du point fixe
2. Théorème de Cauchy-Lipschitz
3. Différentiabilité, inégalité de la moyenne et formules de Taylor
4. Théorèmes d'inversion locale et théorèmes des fonctions implicites, submersion, immersion, théorème du rang constant
5. Sous-variétés de Rn
6. Optimisation

6) Un module d'ouverture (3 à 5 h / sem)

Semestre 2 

7) Analyse complexe (4 h / sem) 

1. Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Opérations sur les fonctions holomorphes. Relations de Cauchy-Riemann. Détermination principale du logarithme.
2. Intégrale d'une fonction le long d'un chemin de C. Indice d'un chemin par rapport à un point.
3. Formule de Cauchy pour les fonctions holomorphes sur un ouvert convexe de C. Homotopie.
4. Formule de Cauchy pour les fonctions holomorphes sur un ouvert simplement connexe de C.
5. Fonctions analytiques. Théorème de Morera. Théorème de Liouville et de d'Alembert-Gauss. Zéros des fonctions holomorphes. Principes élémentaires de prolongement analytique. Principe du maximum et méthode de Phragmen-Lindelöf.
6. Application à l'interpolation. Topologie de H(C). Séries de fonctions holomorphes
7. Singularité isolée d'une fonction holomorphe. Fonctions méromorphes. Théorème des résidus et applications.
8. Transformations conformes, théorème de Riemann. Application à la mécanique des fluides.
9. Fonctions spéciales et applications : fonctions gamma et zéta de Riemann et fonction p de Weierstrass.

8) Méthodes d'approximation des EDP ((4h / sem)

Résumé : Les progrès en analyse mathématique des EDP et la formidable puissance des ordinateurs font de la modélisation numérique un outil très puissant tant en Sciences (Physique théorique, Chimie, Mécanique, Biologie, ...) que dans l'Industrie. L'objet de ce cours est à la fois de donner les bases de la théorie de l'approximation des équations aux dérivées partielles et de former à l'utilisation pratique de ces méthodes.

Programme

1. Équations hyperboliques en une dimension. Méthode des caractéristiques, Schémas classiques aux différences finies : def, consistance, stabilité, convergence.
2. Méthode des différences finies pour les équations de Laplace, des ondes et de la chaleur.
3. Méthodes des éléments finis pour les équations et les systèmes elliptiques. Application à l'équation de Laplace et au système de l'élasticité.
4. Méthode des volumes finis pour les systèmes hyperboliques de lois de conservation. Application aux équations d'Euler des fluides parfaits.

9) Série de 3 minis-cours ( 3 semaines chacun)

1. Introduction aux systèmes complexes en Sciences humaines et sociales (SHS)
2. Théorie géométrique de la mesure
3. Algèbre linéaire numérique

10) Stage d'initiation à la recherche au Centre Borelli 

Durée minimale de 5 mois, par groupe de 2 en général, à mi-temps jusqu'à mi-mai (au moins 2 jours / sem) et à temps plein ensuite. 

11) Le module d'ouverture

Il est choisi parmi les modules suivants (sous réserve) :

• Mécanique quantique (Département physique)
• Calculabilité et complexité (Département informatique)

12) Séminaire "Panorama de la recherche"

Un séminaire "Panorama de la recherche" est l'occasion de découvrir la recherche en mathématiques et les thématiques actuelles. La présence au séminaire est comptabilisée dans la validation de la licence.

13) Cours d'anglais

Des cours d'anglais complètent la formation.